Ostatnie zadanie na maturze rozszerzonej: optymalizacja punkt po punkcie

Szymon Czajkowski9 listopada 2026 · 4 min czytania

Wykres funkcji P(x) = x² + 16/x z zaznaczoną najmniejszą wartością 12 dla x = 2

Przejrzałem pięć arkuszy z matematyki na poziomie rozszerzonym w formule 2023: matury majowe 2023–2026 i arkusz diagnostyczny z grudnia 2024. W każdym ostatnim zadaniem była optymalizacja: wyprowadź wzór funkcji, a potem znajdź jej najmniejszą lub największą wartość. Średnio 5,8 punktu na arkusz – więcej daje tylko planimetria.

To dobra wiadomość, bo to zadanie ma zawsze tę samą budowę. Kontekst się zmienia (stożek, graniastosłup, kwietnik), schemat nie.

Jak wygląda to zadanie

Od 2024 roku ma zawsze dwa podpunkty. W pierwszym, za 2–3 pkt, wyprowadzasz wzór funkcji jednej zmiennej. W drugim, za 4 pkt, szukasz jej najmniejszej lub największej wartości za pomocą pochodnej.

Zadanie do rozpisania

Zadanie w stylu CKE, liczby są moje: projektujemy otwarte pudełko (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratowej i objętości 4 dm³.

a) Wykaż, że pole powierzchni pudełka w zależności od długości x krawędzi podstawy wyraża się wzorem P(x) = x² + 16/x.

b) Wyznacz wymiary pudełka, którego pole powierzchni jest najmniejsze. Oblicz to pole.

Część a): wzór i dziedzina

Rozwiązanie części a): z objętości h = 4/x², pole P = x² + 4xh, po podstawieniu P(x) = x² + 16/x, dziedzina x > 0 zakreślona na czerwono. — Trzy rzeczy: zależność z treści, wzór funkcji jednej zmiennej i dziedzina.

Zaczynasz od tego, co daje treść. Objętość wiąże x i h, więc wyznaczasz h = 4/x². Potem pole: dno to x², każda z czterech ścian to x · h. Po podstawieniu zostaje tylko x.

Dziedzinę zapisz już tutaj. W tym zadaniu wystarczy x > 0, ale czasem treść daje też górne ograniczenie. Gdy pudełko składasz z kwadratowego arkusza o boku 12 cm, wycinając kwadraty w rogach, bok wyciętego kwadratu musi być mniejszy niż 6.

Część b): cztery punkty, cztery etapy

Rozwiązanie części b): pochodna, miejsce zerowe x = 2, tabela znaku pochodnej z minimum w x = 2, wymiary 2 × 2 × 1 dm i pole 12 dm². Na marginesie kolejno 1, 2, 3 i 4 pkt. — Punkty na marginesie to etapy, za które CKE daje punkty w tym podpunkcie.

1 pkt – pochodna. Ułamek 16/x łatwiej zróżniczkować jako 16x⁻¹: pochodna to −16x⁻² = −16/x². Pułapka: pochodna ilorazu to nie iloraz pochodnych. Taki błąd to 0 punktów.

2 pkt – miejsce zerowe pochodnej. Bierz tylko rozwiązania z dziedziny. Tu jest jedno: x = 2.

3 pkt – uzasadnienie, że to minimum. Najczęściej pomijany punkt. Samo P′(2) = 0 nie wystarczy, bo w miejscu zerowym pochodnej może być maksimum albo w ogóle nie być ekstremum. Trzeba pokazać znak pochodnej po obu stronach: tabelką albo zdaniem „P′(x) < 0 dla 0 < x < 2 i P′(x) > 0 dla x > 2”.

4 pkt – odpowiedź na pytanie. Pytają o wymiary i pole, więc trzeba jeszcze policzyć wysokość: h = 1. Pudełko ma wymiary 2 dm × 2 dm × 1 dm, a jego pole to 12 dm².

Gdzie najczęściej uciekają punkty

Brak uzasadnienia, że znaleziona wartość to minimum lub maksimum.
Pochodna ilorazu policzona jako iloraz pochodnych.
Brak dziedziny w części a).
Niepełna odpowiedź: jest x, a nie ma drugiego wymiaru albo wartości funkcji.

Do tego zasada dla całego arkusza: błąd rachunkowy przy poprawnej metodzie zwykle kosztuje 1 punkt. Taka uwaga jest przy 17 z 55 zadań w zasadach oceniania na poziomie rozszerzonym. Nie przerywaj zadania, gdy wynik wygląda dziwnie.

Jak to ćwiczyć

Rozwiąż wszystkie pięć zadań z arkuszy CKE (są za darmo na cke.gov.pl), po jednym w tygodniu, i za każdym razem porównaj rozwiązanie z zasadami oceniania, etap po etapie. Daj sobie 20–25 minut. To ostatnie zadanie w arkuszu, więc na maturze zwykle robisz je, gdy czasu jest już mało.

Jeśli chcesz sprawdzić, jak stoisz z pozostałymi działami, rozwiąż test diagnostyczny z poziomu rozszerzonego. Optymalizację przerabiamy szczegółowo na kursie rozszerzonym.